ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ГОСТ 11.006-74

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

РЛЗРЛБОТЛН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор института, д-р экон. наук, проф. Гличев А. В.

Научный руководитель, канд. техн. наук Бендерский А. М.

Исполнители: Лосицкий О. Г., Диманштейн С. В., Шкотт 3. Н„ Лившиц И. Г., Шуленина Л. А., Шилова Л. С., Воробьева В. К., Чернобривко Л. К., Богатырев А. А., Пшеничникова Л. С.

ВНЕСЕН Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор института, д-р экон. наук Гличев А. В.

ПОДГОТОВЛЕН К УТВЕРЖДЕНИЮ Всесоюзным научно-исследовательским институтом стандартизации (ВНИИС)

Директор, д-р экон. наук Гличев А. В.

УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 20 декабря 1974 г. № 2766

ГОСТ 11.006-74 Стр. 11

4.2. Вычисление по критерию со² проводят в следующем порядке:

а)    вычисляют значение величины £2л по формуле

2«=-л    Р    (*у)    +    (1-    —’) Ш [1-^1,    (14)

где Xj (/==1,2,…, п)—результат наблюдений, имеющий /-й номер в вариационном ряду Х\^х₂^ . . .    ^х_п;

F(Xj)—значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном х$.

Вычисления по формуле (14) рекомендуется сводить в табл. 5. Рекомендуется проводить вычисления с точностью до 5 значащих цифр, округляя окончательный результат до двух значащих цифр.

После заполнения таблицы суммируют значения, занесенные в графу 10. Значение величины Q« получают по формуле (14);

б)    в табл. 6 находят значение функции а, соответствующее вычисленному значению Qл. Функция а представляет собой функцию распределения величины 53 ²л;

в)    задают уровень значимости а. Рекомендуется выбирать значение а, равное 0,1 или 0,2;

г)    если а^( 1—а), то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если а< (1—а), то гипотезу принимают.

Таблица б

Значение 2 Значение функции а (2Л) при втором знаке после запятой 2 значения Яп 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,1 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,005 0,007 0,2 0,010 0,013 0,016 0,020 0,025 0,030 0,035 0,041 0,048 0,055 0,3 0,062 0,070 0,078 0,086 0,095 0,104 0,113 0,122 0,132 0,141 0,4 0,151 0,161 0,171 0,181 0,192 0,202 0,212 0,222 0,233 0,243 0,5 0,253 0,263 0,274 0,284 0,294 0,304 0,313 0,323 0,333 0,343 0,6 0,352 0,361 0,371 0,380 0,389 0,398 0,407 0,416 0,424 0,433 0,7 0,441 0,449 0,458 0,466 0,474 0,482 0,489 0,497 0,504 0,512 0,8 0,519 0,526 0,533 0,540 0,547 0,554 0,560 0,567 0,573 0,580 0,9 0,586 0,592 0,598 0,604 0,610 0,615 0,621 0,627 0,632 0,637

Стр. 12 ГОСТ 11.006-74

Продолжение

Значение 4 2 Значение функции а (2Я) при втором знаке после запятой 2 [ значения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,0 0,643 0,648 0,653 0,658 0,663 0,668 0,673 0,677 0,682 0,687 1,1 0,691 0,696 0,700 0,704 0,709 0,713 0,717 0,721 0,725 0,729 1,2 0,732 0,736 0,740 0,744 0,747 0,751 0,754 0,758 0,761 0,764 1,3 0,768 0,771 0,774 0,777 0,780 0,783 0,786 0,789 0,792 0,795 1.4 0,798 0,800 0,803 0,806 0,809 0,811 0,814 0,8/6 0,8/9 0,821 1,5 0,824 0,826 0,828 0,831 0,833 0,835 0,837 0,839 0,842 0,844 1,6 0,846 0,848 0,850 0,852 0,854 0,856 0,858 0,859 0,861 0,863 1,7 0,865 0,867 0,868 0,870 0,872 0,873 0,875 0,877 0,878 0,880 1,8 0,881 0,883 0,884 0,886 0,887 0,889 0,890 0,892 0,893 0,894 1.9 0,896 0,897 0,898 0,900 0,901 0,902 0,903 0,905 0,906 0,907 2,0 0,908 0,909 0,910 0,912 0,913 0,914 0,915 0,916 0,917 0,9/8 2,1 0,919 0,920 0,921 0,922 0,923 0,924 0,925 0,926 0,927 0,928 2,2 0,929 0,929 0,930 0,931 0,932 0,933 0,934 0,934 0,935 0,936 2,3 0,937 0,938 0,938 0,939 0,940 0,94/ 0,941 0,942 0,943 0,943 2,4 0,944 0,945 0,945 0,946 0,947 0,947 0,948 0,949 0,949 0,950

Стр. 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к ГОСТ 11.006-74 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Пример 1. Применение критерия Колмогорова

По результатам измерений диаметра 316 валиков требуется проверить гипотезу о нормальном распределении диаметра валика. Измерения проводились индикаторным прибором с ценой деления А—0,061 мм.

Результаты измерений и данные их обработки, необходимые для построения функций опытного и теоретического распределений, приведены в табл. 1.

На чертеже приведен график, построенный по этим данным, согласно которому максимальное отклонение между функциями опытного и теоретического распределений при у=—0,6218 равно £>316—0,037.

Величина

^-316 — V316 = 0,65

вписывается в любые границы для доверительных вероятностей у>20 (см. табл. 2 настоящего стандарта). Поэтому согласие данного опытного распределения с нормальным распределением при математическом ожидании диаметра валика 10,000 мм и среднем квадратическом отклонении 0,008 мм следует считать хорошим.

Таблица 1

< —■. + ч + е < + ч[ + Ч < + ч т Ч + £ + е \н 1 <1 + ч ч < L + + ч 1 со + + t*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9,978 I 9,978 —0,022 0,000484 0,000484 —2,7363 0,00316 0,0031 9,979 0 0 —0,021 0,000441 0 —2,6119 0,00316 0,0045 9,980 2 19,960 —0,020 0,000400 0,000800 —2,4875 0,00949 0,0064 9,981 1 9,981 —0,019 0,000361 0,000361 —2,3631 0,01265 0,0091 9,982 I 9,982 —0,018 0,000324 0,000324 —2,2388 0,01582 0,0125 9,983 3 29,949 —0,017 0,000289 0,000867 —2,1144 0,0253 0,0174 9,984 0 0 —0,016 0,000256 0 —1,9900 0,0253 0,0233 9,985 4 39,940 —0,015 0,000225 0,000900 —1,8656 0,0380 0,0314 9,986 3 29,958 —0,014 0,000196 0,000588 —1,7412 0,0474 0,0409 9,987 6 59,922 —0,013 0,000169 0,001014 —1,6169 0,0664 0,0526 9,988 4 39,952 —0,012 0,000144 0,000576 — 1,4925 0,0791 0,0681 9,989 3 29,967 -0,011 0,000121 0,000363 —1,3681 0,0886 0,0869 9,990 8 79,920 -0,010 0,000100 0,000800 —1,2437 0,1139 0,1075

Продолжение табл. 1

*1 ч +• е” <г + ч +- е” 14 1 < + ч < + н + еГ ]Ч 1 <t + £ ‘| ‘-Л Z, ч >s 1 ьо + С* + с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9,991 0 0 —0,009 0,000081 0 —1.П94 0,1139 0,1314 9,992 7 69,944 —0,008 0,000064 0,000448 —0,9950 0,1361 0,1587 9,993 10 99,930 —0,007 0,000049 0,000490 —0,8706 0,1677 0,1922 9,994 8 79,952 —0,006 0,000036 0,000288 —0,7462 0,1930 0,2266 9,995 12 119,940 —0,005 0,000025 0,000300 —0,6218 0,2310 0,2676 9,996 14 139,944 —0,004 0,000016 0,000224 —0,4975 0,2753 0,3094 9,997 18 179,946 —0,003 0,000009 0,000162 —0,3731 0,3322 0,3557 9,998 16 159,968 —0,002 0,000004 0,000064 —0,2487 0,3829 0,4013 9,999 20 199,98 —0,001 0,000001 0,000020 —0,1243 0,4462 0,4522 10,000 19 190,000 0 0 0 0 0,5063 0,5000 10,001 21 210,021 0,001 0,000001 0,000021 0,1243 0,5727 0,5478 10,002 17 170,034 0,002 0,000004 0,000068 0,2487 0,6265 0,5987 10,003 6 60,018 0,003 0,000009 0,000054 0,3731 0,6455 0,6443 10,004 15 150,060 0,004 0,000016 0,000240 0,4975 0,6930 0,6879 10,005 14 140,070 0,005 0,000025 0,000350 0,6218 0,7373 0,7324 10,006 14 140,084 0,006 0,000036 0,000504 0,7462 0,7816 0,7734 10,007 8 80,056 0,007 0,000049 0,000392 0,8706 0,8069 0,8078 /0,008 12 120,096 0,008 0,000064 0,000768 0,9950 0,8449 0,8389 10,009 13 130,117 0,009 0,000081 0,001053 1,1194 0,8860 0,8686 /0,010 7 70,070 0,010 0,0001 0,000700 1,2437 0,9082 0,8925 10,011 0 0 0,011 0,000121 0 1,3681 0,9082 0,9147 10,012 8 80,096 0,012 0,000144 0,001152 1,4925 0,9335 0,9319 /0,013 4 40,052 0,013 0,000169 0,000676 1,6169 0,9462 0,9474 10,014 5 50,070 0,014 0,000196 0,000980 1,7412 0,9620 0,9591 10,015 2 20,030 0,015 0,000225 0,000450 1,8656 0,9683 0,9693 10,016 4 40,064 0,016 0,000256 0,001024 1,9900 0,9810 0,9767 10,017 0 0 0,017 0,000289 0 2,П44 0,9810 0,9826 10,018 I 10,018 0,018 0,000324 0,000324 2,2388 0,9841 0,9875 10,019 1 10,019 0,019 0,000361 0,000361 2,3631 0,9873 0,9909 10,020 I 10,020 0,020 0,000400 0,000400 2,4875 0,9905 0,9936 10,021 0 0 0,021 0,000441 0 2,6119 0,9905 0,9955 10,022 0 0 0,022 0,000484 0 2,7363 0,9905 0,9968 10,023 2 20,046 0,023 0,000529 0,001058 2,8606 0,9968 0,9979 10,024 0 0 0,024 0,000576 0 2,9850 0,9968 0,9986 10,025 0 0 0,025 0,000626 0 3,1094 0,9968 0,9991 10,026 0 0 0,026 0,000676 0 3,2338 0,9968 0,9994 10,027 I 10,027 0,027 0,000729 0,000729 3,3582 1,0000 0,9996 2=3160,181 2=0,020377

Ш;г(у)

Пример 2. Применение критерия %²

В процессе специальных испытаний дизелей регистрировалась их наработка, после которой дизель подлежал направлению в капитальный ремонт. Полученные результаты были сгруппированы по интервалам продолжительностью &=250 моточасов. Данные о числе образцов, направленных в капитальный ремонт в первом, втором и т. д. интервалах наработки, приведены в первой и второй графах табл. 2, Требуется проверить гипотезу о том, что указанная наработка подчинена экспоненциальному распределению.

Обработка результатов наблюдений, необходимая для оценки этой гипотезы по критерию х², приведена в графах с третьей по четырнадцатую табл. 2 (для удобства вычислений в табл. 2 по сравнению с табл. 3 настоящего стандарта

введены дополнительные графы). В итоге получены среднее значение х=8,6 и среднее квадратическое отклонение 5 — 8,5 исследуемой наработки, измеренной числом интервалов (для перевода данных в моточасы надо х и 5 умножить на Л —250).

Поскольку для экспоненциального распределения математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, то начало отсчета наработки при определении нормированных величин yj сдвинуто на х—5=0,1.

В тринадцатом интервале npi3=9,9<10, в последующих интервалах npj< 10. Поэтому, при подсчете величин х² объединены четырнадцатый и пятнадцатый, шестнадцатый и семнадцатый, восемнадцатый и девятнадцатый интервалы. Далее объединены двадцатый — двадцать второй, двадцать третий — двадцать шестой, двадцать седьмой—сороковой интервалы. При этом для всех расширенных интервалов значения

п(ри+Рч)> Фп+Рп)>

л(Лв+Ло). « (Р20+А1+Л2).

Ф23+Ри+Р25+Р2в)> И

n(p₂i+, . • • ,+Рм)

Данные для проверки согласия опытного распределения наработки дизелей до капитального ремонта с экспоненциальным распределением Таблица 2

гГ JT 1 1ч 1 t 04 1ч 1 “И £ ‘ГГ 1 iw 1 «г ( со 1 £ 1 £ li- £ Т $>1 к II С с С’ с Г г с* а, 1 & т f £ Cl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 35 17,5 -8,1 65,61 2296 —0,95 0,00 0,0000 0,1042 37,20 —2,20 4,84 0,128 2 32 48 -7,1 50,41 1613 —0,84 0,11 0,1042 0,1013 36,20 -4,20 17,64 0,488 3 30 75 —6,1 37,21 1116 —0,72 0,23 0,2055 0,0898 32,10 —2,10 4,41 0,137 4 28 98 -5.1 26,01 728 -0,600 0,35 0,2953 0,0797 28,60 —0,60 0,36 0,0126 5 23 103,5 -4,1 16,81 387 —0,48 0,47 0,3750 0,0707 25,30 -2,30 5,29 0,209 6 20 ПО –3,1 9,61 192 —0,36 0,59 0,4457 0,0577 20,70 —0,70 0,49 0,0236 7 18 117 -2,1 4,41 79 —0,25 0,70 0,5034 0,0562 20,10 —2,10 4,41 0,219 8 17 127,5 -U 1,21 21 -0,130 0,82 0,5596 0,0498 17,82 -0,82 0,67 0,0376 9 17 144,5 —0,1 0,01 0,1 —0,012 0,94 0,6094 0,0441 15,80 1,20 1,44 0,0912 10 15 142,5 0,9 0,81 12 0,11 1,06 0,6535 0,0361 12,90 2,10 4,41 0,341 II 12 126 1,9 3,61 43 0,22 I»17 0,6896 0,0351 12,55 -0,55 0,30 0,0249 12 II 126,5 2,9 8,41 93 0,34 1,29 0,7247 0,0312 11,15 —0,15 0,02 0,0018 13 10 125 3,9 15,21 152 0,46 1,41 0,7559 0,0276 9,90 0,10 0,01 0,00101 14 10 135 4,9 24,01 240 0,58 1,53 0,7835 0,0225 8,05 1,95 1,98 3,80 3,92 “0,473 0,244 15 8 116 5,9 34,81 278 0,69 1,64 0,8060 0,0220 7,97 0,03 0,0009 0,000113 16 7 108,5 6,9 47,61 333 0,81 1,76 0,8280 0,0194 6,95 оЖ~ 1,85 0,009 3,43 6,60288 0,263 17 8 132 7,9 62,41 499 0,930 1,05 1,88 0,8474 0,0193 6,20 1,80 3,24 0,523 18 6 105 8,9 79,21 475 2,00 0,8647 0,0153 5,48 0,52 0,04 0,27 0,0016 0,0494 0,0001 19 4 74 9,9 98,01 392 1.17 2,12 0,8800 0,0125 4,48 -0,48 0,23 0,0515

е •~-ч i” ‘1 Ы 1 i* 1 ‘N (N 1ч 1 iw Г 1ч 1 i 14 1 4″ 1 Co 1 £ 1 >4 1 2 3 4 5 6 7 8 20 8 58,5 ГО79″ ГГ8,81 1 ^ f 21 8 61,5 11,9 141,61 425 1,40 2,35 22 5 107,5 12,9 166,41 832 1,50 2,47 23 4 90 13,9 193,21 773 1,64 2,59 24 2 47 14,9 222,01 444 1,75 2,70 25 3 73,5 15,9 252,81 758 1,87 2,82 26 5 127,5 16,9 285,61 1428 1,99 2,94 27 2 53 17,9 320,41 641 2, П 3,06 28 4 ПО 18,9 357,21 1429 2,22 3,17 29 3 85,5 19,9 396,01 1188 2,34 3,29 30 0 0 20,9 436,81 0 2,46 3,41 31 2 61 21,9 479,61 959 2,58 3,53 32 3 94,5 22,9 524,41 1573 2,70 3,65 33 I 32,5 23,9 571,21 571 2,82 3,77 34 0 0 24,9 620,01 0 2,93 3,88 35 1 34,5 25,9 670,81 671 3,05 4,00 36 2 71 26,9 723,61 1447 3,17 4,12 37 0 0 27,9 778,41 0 3,29 4,24 38 2 75 28,9 835,21 1670 3,40 4,35 39 / 38,5 29,9 894,0/ 894 3,52 4,47 40 1 2—358 39,5 3071,5 30,9 954,81 955 X=25967 3,63 4,58

3071    0 п С” Л / 25967    ос.    ^    4 Х= -Щ-=8‘6’ S= V – 357“ в 8’5>    1 ~ Ь‘

больше 10. Эти интервалы в табл. 2 заключены в полужирную рамку. Соответственно вычисляются и все остальные величины, например,

{^ШП + ТП\_Ь-Л(р14+/>15)}²

п {р_и + Pis)

и т. д.

После объединения указанных интервалов полное число неравновеликих интервалов составляет 13+6=19 (вместо сорока равновеликих) и число степеней свободы при оценке %² принимается равным &=19—1 = 18.

Окончательно получается

что соответствует вероятности а=0,005.

Это значит, что гипотеза о согласии наработки дизеля до капитального ремонта с экспоненциальным распределением принимается.

Пример 3. Применение критерия ш²

Настоящий пример составлен при малом количестве данных с целью иллю-страции вычислительного процесса.

Исходные данные, упорядоченные по величине, приведены ниже в табл. 3.

Таблица 3

Номер наблюдения Значение Номер наблюдения Значение Номер наблюдения Значение 1 15,61 6 24,14 II 27,88 2 20,71 7 24,59 12 28,74 3 21,68 8 26,18 13 29,34 4 22,28 9 26,23 14 30,86 5 23,22 10 27,59 15 32,08

Требуется проверить гипотезу о том, что выборка принадлежит нормальна распределенной генеральной совокупности. Оценки параметров нормального распределения, вычисленные по исходным данным, равны соответственно х=25,340;. S=4,319. Принимаем эти оценки в качестве значений параметров нормального распределения.

Результаты дальнейших вычислений приведены в табл. 4.

Сумма значений, помещенных в графе 10, равна —7,58828. Тогда результат вычисления по формуле (14) будет Й_п²=—п—2(—7,58828) =0,17656^0,18. Значение функции a (Q_n²) для Q_n²=0,18 равно 0,003. Это значение очень мало; следовательно гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной* генеральной совокупности, не может быть отвергнута.

УДК 658.562.012.7(083.74]    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Applied statistics. The tests for goodness of fit distributions of empirical

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров СССР от 20 декабря 1974 г. № 2766 срок действия установлен

с 01.01 1976 г, до 01.01 1981 г.

Настоящий стандарт распространяется на продукцию всех отраслей народного хозяйства и устанавливает правила проверки согласия распределения случайной величины, полученной по результатам наблюдений с предполагаемым теоретическим распределением этой величины по критериям Колмогорова, х²> <*>².

На основании настоящего стандарта устанавливают виды распределений показателей качества продукции и технико-экономических показателей, включаемых в нормативно-технические документы.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Процедура проверки согласия опытного и теоретического распределений случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины

построении на основании их функции накопленных частостей и сравнении этой функции с заданной теоретической функцией.

Процедура осуществляется с целью установления функции распределения случайной величины х, применяемой для различных теоретико-вероятностных расчетов, статистического анализа, а также обоснования выбора планов статистического контроля, регулирования и испытаний качества продукции.

1.2.    Наблюдения случайной величины х должны проводиться в практически одинаковых условиях, исследуемая совокупность

Перепечатка воспрещена

© Издательство стандартов, 1975

Результаты вычислений по

Номер наблюдения в вариационном ряду 2/-1 2 п 1п(3) (2)•(4) 1-(2) 1 2 3 4 5 6 1 0,033 0,0121 —4,41454 —0,14715 0,966 2 0,100 0,142085 —I,95122 —0,19512 0,900 3 0,166 0,198498 —I,61697 —0,26949 0,833 4 0,233 0,239473 —1,42920 —0,33348 0,766 5 0,300 0,382089 —0,96207 —0,28862 0,700 б 0,366 0,390506 —0,94033 —0,34479 0,633 7 0,433 0,430933 —0,84188 —0,36481 0,566 8 0,500 0,485243 —0,72319 —0,36160 0,500 9 0,566 0,581605 —0,54197 —0,30712 0,433 10 0,633 0,698817 -0,35839 —0,22698 0,366 II 0,700 0,721734 —0,32615 —0,22831 0,300 12 0,766 0,784359 —0,24284 —0,18618 0,233 13 0,833 0,822777 —0,19504 —0,16253 0,166 14 0,900 0,899375 —0,10603 —0,09427 0,100 15 0,966 0,940601 —0,06124 —0,05920 0,033

Таблица 4 критерию ш2

1 —(3) Ш(7) (6)-(8) (5)+(9) 7 8 9 10 0,987870 —0,01217 —0,01176 —0,15892 0,857915 —0,15327 —0,13794 —0,33307 0,801502 —0,22127 —0,18439 —0,45389 0,760527 —0,27378 —0,20990 -0,54338 0,617911 —0,48143 —0,33700 —0,62562 0,609494 —0,49512 —0,31358 —0,65836 0,569067 —0,56370 —0,31942 —0,68424 0,514757 —0,66397 —0,33199 —0,69358 0,418395 —0,87132 —0,37757 —0,68469 0,301183 —1,19998 -0,43999 —0,66697 0,278266 —1,27905 —0,38372 -0,61202 0,21564! —1,53433 -0,35801 —0,54419 0,177223 —1,73048 —0,28841 —0,45095 0,100625 —2,29660 —0,22966 —0,32509 0,059380 —2,82346 —0,09412 —0,15331

Стр. 2 ГОСТ 11.006-74

должна быть однородной. Нарушение требований однородности может привести к ошибочным .выводам.

1.3.    Число наблюдений случайной величины х для проверки согласия опытного и теоретического распределений должно быть больше 100, если используют критерии Колмогорова и х², и больше 50—если используют критерий со².

1.4.    Для наблюдений случайной величины х должны применяться средства измерения с ценой деления, не превышающей ^!/₅ предполагаемой величины среднего квадратического отклонения исследуемого распределения.

1.5.    В приложении 1 даны примеры проверки согласия опытного и теоретического распределений, в приложении 2—теоретическое обоснование стандарта, в приложении 3 — перечень справочной литературы.

2. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

2.1.    Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных в условиях, соответствующих требованиям п. 1.2, располагают в порядке их возрастания

. . . ,<д:_л.

2.2.    В первую графу табл. 1 записывают значения

х_х; х,-|-Д; *,+2Д; . . . ;х_г, где Д — цена деления применяемого средства измерения (приращение интервала).

Во вторую графу табл. 1 записывают частоты т_и m2,…, т_г> с которыми встречаются величины Х\; Х\ + А; х\ +2Д;…

Если величина х_{+]А не получена в результате наблюдений* ТО Ш;+1=0.

2.3.    Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение

где п~т_х+т₂+ . . . -f т_Т\

г — количество интервалов, которое вычисляют по формуле

_г_ ^хп — ^х\ ‘ Данные вычисления располагают в третьей — шес-

д

той графах табл. 1.

Данные для построения функций опытного и теоретического распределений Таблица 1
■*»+М т/+1 т/-Н(*1 + /А) (*! + /*- ^)2 (*1+М-*)ах … Xi+)*-X W1+О ”O’ж) Xmj+1 У1+1 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Xj + Д	Стр. 4 ГОСТ 11.006-74

Примечания:

1. Функция теоретического распределения F(^) представляет собой вероятность того, что при принятом распределении случайной величины у будет выполняться условие — °°<У*СУк’ Значения этой функции приведены в специальных таблицах (см. [10] в приложении 3). При переносе данных в табл. 1 необходимо убедиться, что начало отсчета аргумента и масштаб его таковы, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины у соответственно равны 0 и 1. Если это требование не выполнено, необходимо произвести перерасчет с изменением начала отсчета и масштаба.

2. Если г=—>60,    то    допускается    разбиение    участка    на    равные    интервалы длиной 2Д, ЗД, . . . таким

образом, чтобы число интервалов было более 30. В этом случае ffy+i будет равно количеству результатов наблюдений, попавших в интервал (/—1)А, /Л(Д«?Д, ЗД, . , , ).

ГОСТ 11.006-74 Стр. 5

Таблица 2 Предельные значения нормированных отклонений опытного распределения от значений теоретического распределения для заданных доверительных вероятностей

т * *п 7 * ^п 0,01 0,44 0,60 0,89 0,05 0,52 0,70 0,97 0,10 0,57 0,80 1,07 0,15 0,61 0,90 1,22 0,20 0,65 0,95 1,36 0,30 0,71 0,98 1,52 0,40 0,77 0,99 1,63

3. КРИТЕРИЙ х2

3.1. Результаты наблюдений случайной величины х в специально поставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных в условиях, соответствующих требованиям п. 1.2, располагают в порядке возрастания

x_t<x₂ . . . <х_п.

3.2.    Вычисляют размах х_п—х_х и образуют г равных интервалов шириной

h = ^х* — ^х‘ .    (9)

г

Число интервалов г выбирают в зависимости от объема выборки л:

при л=200 г=18-ь-20; при л=400 г=25-ь-30; при л=1000 г—35=-40.

Примечание. При 100</г<200 критерий %² применяют в исключительных случаях с числом интервалов г=15-т-18.

3.3.    Результаты наблюдений Xj группируют по интервалам, подсчитывают частоты rrij величин Xj, попавшие в у’-е интервалы. Эти частоты записывают во вторую графу табл. 3.

3.4.    Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение

*= т2^(/~т^)от‘^{;    (10)}

_7=1__

3.5. Вычисляют величины

которые записывают в пятую графу табл. 3. В шестую графу табл. 3 переписывают из специальных таблиц значения функции проверяемого теоретического распределения F(yj)-

В седьмую графу табл. 3 записывают вероятности попадания опытных данных в /-й интервал pj.

A=^(yi);

Pj=^F(yj)~^F(yj-i)’ /=²> •

Примечание. Если в восьмой графе табл. 3 окажутся значения npj<T0, то следует объединить интервал, в котором ожидаемое число результатов наблюдений меньше десяти, с одним или несколькими соседними интервалами таким образом, чтобы в новом интервале ожидаемое число результатов наблюдений было не менее десяти.

3.6. Вычисляют данные, указанные в графах 9—11 табл. 3 и по ним

3.7. Задаются доверительной вероятностью

_т=Вер{х²<(х*)²}

того, что величина х²> полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятностей теоретического распределения, будет меньше значения (х*)², установленного для доверительной вероятности у. В табл. 4 для доверительной вероятности и числа степеней свободы k = r—1 находят величину (х*)²/&, вычисляют (х*)² и сравнивают с ним вычисленную по данным табл. 3 величину х²* Если х² окажется меньше (х*)²> то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в противном случае — отвергается.

4. КРИТЕРИИ о)²

4.1. Критерий со² является более мощным, чем критерий х² и Колмогорова, но его применение требует выполнения большого количества вычислительных операций. Критерий <о² может быть применен, если число наблюдений превышает 50. Его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений более 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результаты проверки по другим критериям не позволяют сделать безусловный вывод о согласии опытного и теоретического распределений, например, если при проверке сог-

Стр. 8 ГОСТ 11.006-74

ласия по критерию %² гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует дополнительно применить критерий со².

Таблица 4

Квантили ^-распределения (х*)*/^ при доверительной вероятности у к 0,001 0,005 0.010 0,025 0,05 0,10 0,20 0,30 15 0,232 0,307 0,349 0,418 0,484 0,570 0,687 0,781 16 0,246 0,321 0,363 0,432 0,498 0,582 0,697 0,789 17 0,260 0,335 0,377 0,445 0,510 0,593 0,706 0,796 18 0,272 0,348 0,390 0,457 0,522 0,604 0,714 0,802 19 0,285 0,360 0,402 0,469 0,532 0,613 0,722 0,808 20 0,296 0,372 0,413 0,480 0,543 0,622 0,729 0,813 22 0,317 0,393 0,434 0,499 0,561 0,638 0,742 0,823 24 0,337 0,412 0,452 0,517 0,577 0,652 0,753 0,831 26 0,355 0,429 0,469 0,532 0,592 0,665 0,762 0,838 28 0,371 0,445 0,484 0,547 0,605 0,676 0,771 0,845 30 0,386 0,460 0,498 0,560 0,616 0,687 0,779 0,850 35 0,420 0,491 0,529 0,588 0,642 0,708 0,795 0,862 40 0,448 0,5/8 0,554 0,6П 0,663 0J26 0,809 0,872 45 0,472 0,540 0,576 0,630 0,680 0,741 0,820 0,880 50 0,494 0,560 0,594 0,647 0,695 0,754 0,829 0,886

Продолжение табл. 4

Квантили х*-распределения (х*)2‘* при доверительной вероятности 7 к 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 15 0,869 0,956 1,05 1,15 1,29 1,49 1,67 1,83 2,04 2,19 2,51 16 0,874 0,959 1,05 J, 15 1,28 1,47 1,64 1,80 2,00 2,16 2,45 17 v ) v 0,879 0,961 1,05 1,15 1,27 1,46 1,62 1,78 1,97 2,10 2,40 18 0,883 0,963 1,05 1,14 1,26 1,44 1,60 1,75 1,93 2,06 2,35 19 0,887 0,965 1,05 1,14 1,26 1,43 1,59 1,73 1,90 2,03 2,31 20 0,890 0,967 1,05 1,14 1,25 1,42 1,57 Ml 1,88 2,00 2,27 22 0,897 0,970 1,05 1,13 1,24 1,40 1,54 1,67 1,83 1,95 2,19 24 0,902 0,972 1,05 1,13 1,23 1,38 1,52 1,64 1,79 1,90 2,13 26 0,907 0,974 1,05 1,12 1,22 1,37 1,50 1,61 1,76 1,86 2,08 28 0,911 0,976 1,04 1,12 1,22 1,35 1,48 1,59 1,72 1,82 2,03 30 0,915 0,978 1,04 М2 1,21 1,34 1,46 1,57 1,70 1,79 1,99 35 0,922 0,981 1,04 i,ir 1,19 1,32 1,42 1,52 1,64 1,72 1,90 40 0,928 0,983 1,04 1,10 1,18 1,30 1,39 1,48 1,59 1,67 1,84 45 0,933 0,985 1,04 1,10 1,17 1,28 1,37 1,45 1,55 1,63 1,78 50 0,937 0,987 1,04 1,09 1,16 1,26 1,35 1,43 1,52 1,59 1,73